1.1. Składowa elektryczna
Ponieważ linię przesyłową energii elektrycznej traktujemy jako kondensator współosiowy (cylindryczny), do jego obliczenia możemy zastosować znane klasyczne wzory [1].
Natężenie pola elektrycznego w kondensatorze koncentrycznym oblicza się, korzystając z następującego wzoru:
\(E = {q \over 2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 r l} \qquad (1.8)\)
Gdzie: r — promień, który zmienia się w zależności od wartości promienia przewodnika r1, aż do promienia zewnętrznej okładki kondensatora r2, l -długość kondensatora.
Przyjrzyjmy się ładunkowi elektrycznemu nieco bardziej szczegółowo. Znajdujemy go w następujący sposób: q=CU, gdzie C- pojemność kondensatora, U – napięcie między okładkami kondensatora, które w ogólnej postaci złożonej wygląda następująco: \(U = U_0 \mathrm{e}^{i \omega t}\), gdzie \(\omega = 2\pi f\), \(U_0\) – wartość amplitudy napięcia. W tym artykule rozważamy propagację wyłącznie sinusoidalnych sygnałów w liniach przesyłowych.
Przypomnijmy wzór na pojemność kondensatora koncentrycznego:
\(C = {2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 l \over \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.9)\)
Teraz znajdujemy pochodną czasową równania (1.8), podstawiając do niego tę pojemność:
\({\partial E \over \partial t} = {1 \over r \ln(r_2 / r_1)} {\partial U \over \partial t} = {U_0 i \omega \mathrm{e}^{i \omega t} \over r \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.10)\)
Stąd możemy znaleźć składową elektryczną przepływu energii
\(S_E = \varepsilon \varepsilon_0 E {\partial E \over \partial t} l = C U_0^2 {i \omega \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi r^2 \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.11)\)
i składowa elektryczna mocy zgodnie z (1.7):
\(P_E = \int \limits_{s} S_E\, ds = C U_0^2 {i \omega \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi \ln(r_2 / r_1)} \int \limits_{r_1}^{r_2} {d(\pi r^2) \over r^2} = C U_0^2\, i \omega \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \qquad (1.12)\)
Wyróżnijmy tylko rzeczywistą część tej mocy:
\(P_E = – \omega C U_0^2 \sin(2 \omega t) \qquad (1.13)\)
Ta część mocy powstaje w wyniku prądu przesunięcia i musi być przenoszona przez falę E, która ma składową podłużną [2].
1.2. Składowa magnetyczna
Aby znaleźć składową magnetyczną mocy, postępujemy w ten sam sposób i najpierw wyznaczamy natężenie pola magnetycznego wewnątrz kabla koncentrycznego (rys. 5) przy użyciu znanego wzoru [1]:
\(H = {I \over {2 \pi r}} \qquad (1.14)\)
gdzie: I – prąd przewodzenia przez rdzeń centralny, który w ogólnej formie złożonej wygląda następująco: \(I = I_0 \mathrm{e}^{i \omega t}\), przy czym IO – wartość amplitudy tego prądu.
Przypomnijmy sobie, jak oblicza się indukcyjność kondensatora współosiowego:
\(L = {\mu \mu_0 l \over 2 \pi} \ln(r_2 / r_1) \qquad (1.15)\)
Teraz znajdujemy pochodną czasową równania (1.14), podstawiając do niego tę indukcyjność:
\({\partial H \over \partial t} = {1 \over \mu \mu_0} {L I_0 i \omega \mathrm{e}^{i \omega t} \over r l \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.16)\)
Stąd możemy znaleźć składową magnetyczną przepływu energii
\(S_H = \mu \mu_0 H {\partial H \over \partial t} l = \omega L I_0^2 {i \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi r^2 \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.17)\)
i składowa magnetyczna mocy zgodnie z (1.7):
\(P_H = \int \limits_{s} S_H\, ds = \omega L I_0^2 {i \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi \ln(r_2 / r_1)} \int \limits_{r_1}^{r_2} {d(\pi r^2) \over r^2} \qquad (1.18)\)
Ostatecznie:
\(P_H = \omega L I_0^2\, i \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \qquad (1.19)\)
Tutaj również musimy wyizolować tylko rzeczywistą część tej mocy:
\(P_H = – \omega L I_0^2\sin(2 \omega t) \qquad (1.20)\)
Oczywiście, w przeciwieństwie do poprzedniej elektrycznej składowej mocy, składowa magnetyczna jest tworzona przez falę elektromagnetyczną ze składową H. W rzeczywistym ROES ta składowa mocy jest stosunkowo mała i w wielu przypadkach może nie być brana pod uwagę.