1.3. Moc strat czynnych (Joule’a)
Rozważamy zamknięty obwód ROES, dlatego musimy również uwzględnić moc przesyłaną przez prąd przewodzenia przez przekrój poprzeczny przewodnika. Będzie się ona składać z mocy strat Joule’a w przewodniku i mocy krążącej w obwodzie zamkniętym. Zaniedbujemy tutaj straty jonizacyjne i tłumienie linii ze względu na ich niewielkie rozmiary.
Ponieważ uważamy, że drugi przewód ma stosunkowo niską rezystancję, ponieważ część prądu przepływa przez ziemię, tutaj rozważymy tylko straty Joule’a na rezystancji czynnej rdzenia centralnego kabla linii przesyłowej. Jeśli wprowadzimy rezystancję czynną tego przewodu jako Rl, wówczas moc strat czynnych można obliczyć następująco:
\(P_J = I^2 R_l \qquad (1.21)\)
Przypomnijmy, że prąd ogólnie opisuje się następująco: \(I = I_0 \mathrm{e}^{i \omega t}\). Podstawiając tutaj zespolone wartości prądu i znajdując rzeczywistą część mocy, otrzymujemy ostatecznie moc strat Joule’a:
\(P_J = I_0^2 R_l \cos(2 \omega t) \qquad (1.22)\)
Moc krążącą w obwodzie zamkniętym można również zaobserwować w sposób klasyczny:
\(P_{\rho} = U_0 I_0 \mathrm{e}^{i \omega t} \qquad (1.23)\)
Wybierając tylko część rzeczywistą otrzymujemy:
\(P_{\rho} = U_0 I_0 \cos(2 \omega t) \qquad (1.24)\)
W przypadku obwodu otwartego, na przykład gdy wtyczka Avramenko znajduje się po stronie odbiorczej, moce te będą równe zeru.
1.4. Bilans mocy
Sformułujmy ogólne równanie w postaci bilansu mocy. W tym celu bierzemy uzyskane wzory (1.13, 1.20, 1.22) i podstawimy je do (1.6):
P_S – \omega C U_0^2 \sin(2 \omega t) – \omega L I_0^2 \sin(2 \omega t) = 0 \qquad (1.25)
Stąd możemy uzyskać moc przesyłaną przez tę linię energetyczną za pomocą fali elektromagnetycznej:
\(P_S = \omega C U_0^2 \sin(2 \omega t) + \omega L I_0^2 \sin(2 \omega t) \qquad (1.26)\)
W najbardziej ogólnym przypadku, aby znaleźć całkowitą moc przesyłaną przez linię energetyczną, należy dodać moc PJ z (1.22)Pρ z (1.24). Następnie ostatecznie otrzymujemy:
\(P_{\Sigma} = \left[ \omega C U_0^2 + \omega L I_0^2 \right] \sin(2 \omega t) + \left[ U_0 I_0 – I_0^2 R_l \right] \cos(2 \omega t) \qquad (1.27)\)
Z otrzymanego wyrażenia wynika, że jeśli częstotliwość jest równa zeru, to wzór przejdzie do klasycznego, do obliczania prądu stałego. Przechodząc do wartości efektywnych (średnich kwadratów) prądu i napięcia, otrzymamy:
\(P_{\Sigma} = \sqrt{ \left[ \omega (C U^2 + L I^2) \right]^2 + \left[ U I – I^2 R_l\right]^2 } \qquad (1.28)\)
Dla jasności zapiszmy ten sam wzór w innej formie:
\(P_{\Sigma} = \sqrt{ P_D^2 + P^2 } \ P_D = \omega (C U^2 + L I^2) , \quad P = U I – I^2 R_l \qquad (1.29)\)
Jeśli porównamy ten wzór z pierwszym (1.1), możemy dostrzec wyraźną analogię: prąd całkowity, podobnie jak moc całkowita, tworzą dwa składniki. Lepiej byłoby sformułować otrzymany wynik w następujący sposób: energia całkowita przesyłana przez linię przesyłową składa się z energii przesyłanej przez prąd przesunięcia i energii przesyłanej przez prąd przewodzenia. Jednak w praktyce wygodniej jest posługiwać się mocami, które otrzymano w (1.29). Dlatego też odpowiednie moce będziemy dalej nazywać następująco: moc przesunięcia —PD i moc przewodnictwa wynosi P (nasza moc klasyczna). Jednocześnie moc strat Joule’a w liniach przesyłowych jest \(P_J = I^2 R_l\).
Ciekawe jest to, że w przeciwieństwie do prądu przewodzenia, obwodu elektrycznego z prądem przesunięcia nie da się obliczyć przy użyciu praw Ohma i Kirchhoffa. Wymaga to zupełnie nowego aparatu matematycznego.
Innym wnioskiem z uzyskanego wyniku może być fakt, że w przypadku prądu przemiennego i obwodu zamkniętego przez linię przesyłową zawsze płyną dwa prądy : prąd przewodzenia – wzdłuż przekroju poprzecznego przewodnika i prąd przesunięcia – wzdłuż przewodnika, ale nie w nim. Wielu współczesnych badaczy, np. D. Smith, mówiło o drugiej właściwości prądu. W obwodzie otwartym przez przewodnik płynie tylko jeden prąd – prąd przesunięcia.
Jeżeli przyjmiemy, że otrzymany wzór sprawdza się nie tylko w przypadku linii koncentrycznych, ale także innych ich rodzajów – co zostanie wykazane dalej w przykładach – to interesująca będzie ocena działania klasycznych sieci energetycznych na jego podstawie.
Oszacujmy, jaki procent całkowitej mocy przesyłowej zajmuje moc przesunięcia dla linii przesyłowej 110 kV na kilometr linii. Jeśli weźmiemy pojemność między przewodami takiej linii przesyłowej — 4 nF/km [9], to przy częstotliwości 50 Hz moc przesunięcia wyniesie 15 kW, co przy całkowitej mocy takiej linii 30 MW wyniesie 0,05%. Przy maksymalnej długości takiej linii przesyłowej między podstacjami — 80 km, udział mocy polaryzacji wyniesie tylko 4%. W sieci energetycznej 220 V liczba ta będzie o rzędy wielkości mniejsza. Dlatego moc przesunięcia dla klasycznych sieci energetycznych nie jest uwzględniana lub jest przenoszona do kategorii reaktywnej. Jeśli zwiększymy częstotliwość przesyłu energii, na przykład do 20 kHz, to dla linii przesyłowej o napięciu 110 kV udział mocy przesunięcia wzrośnie do 20% i może w zasadzie całkowicie zastąpić moc przesyłaną prądami przewodzenia. Jednocześnie przekrój przewodów takiej linii może stać się kilkakrotnie mniejszy, a w materiale przewodnika można całkowicie zrezygnować z drogich komponentów.
2. Sprawność
Ze wzoru (1.25) wynika, że sprawność linii przesyłowej będzie szacowana na podstawie całkowitej mocy bez strat Joule’a i mocy uwzględniającej te straty:
\(\eta_l = { \sqrt{P_D^2 + P^2 \over P_D^2 + (P + P_J)^2} } \qquad (2.1)\)
Całkowita sprawność całej instalacji będzie zależeć od sprawności części nadawczej i odbiorczej \(\eta_{tx}, \eta_{rx}\) i sprawności linii:
\(\eta = \eta_{tx} \eta_l \eta_{rx} \qquad (2.2)\)
Następnie wyznaczymy charakterystykę przejścia, a na jej podstawie częstotliwość rezonansową i przejdziemy do obliczenia właściwego ROES.